Тема 2.3. Геометрическое истолкование задачи в стандартной форме в случае двух переменных

Оглавление | Назад | Далее | Глоссарий понятий

Задача линейного программирования в стандартной форме с двумя переменными имеет вид:

	(2.13)
	(2.14)
	(2.15)

Эти задачи допускают простое геометрическое истолкование.
Рассмотрим вначале геометрическое истолкование системы ограничений задачи. Каждую совокупность значений переменных x₁, x₂ можно изобразить точкой на плоскости, если ввести систему координат и по одной оси откладывать x₁, а по другой - x₂. Выясним, что геометрически означает совокупность решений одного отдельно взятого неравенства:

a₁x₁ + a₂x₂ ≤ b.

Рассмотрим прямую на плоскости с уравнением a₁x₁ + a₂x₂ = b.

Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости, в одной из которых справедливо наше неравенство, а в другой - противоположное. Для того, чтобы проверить, какая из полуплоскостей состоит из решений нашего неравенства, следует взять точку из какой-либо полуплоскости и проверить, выполняется ли наше неравенство в этой точке. Множество решений отдельно взятого линейного неравенства представляет собой полуплоскость. Для системы из нескольких таких неравенств точки, координаты которых удовлетворяют всем неравенствам одновременно, должны находится во всех соответствующих полуплоскостях, т.е. принадлежать теоретико-множественному пересечению этих полуплоскостей. Множество точек на плоскости, удовлетворяющих системе ограничений, составляет, таким образом, некоторую выпуклую многоугольную область (область допустимых решений). Условия неотрицательности переменных x₁ ≥ 0 и x₂ ≥ 0 приводят к тому, что эта область находится в первой координатной четверти.

При решении двумерных задач линейного программирования возможны следующие ситуации (ОДР - область допустимых решений):

Рис. 2.3

1. Основной случай - получающаяся область имеет вид ограниченного (замкнутого) выпуклого многоугольника (см. рис. 2.4).

2. Неосновной случай - получается неограниченный (незамкнутый) выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рис. 2.5.

рис. 2.4	рис. 2.5

3. Наконец, возможен случай, когда неравенства противоречат друг другу, и допустимая область вообще пуста.

Алгоритм графического метода решения задач ЛП:

1. Построить область допустимых решений.
2. Если область допустимых решений является пустым множеством, то задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.
3. Если область допустимых решений является непустым множеством, построить нормаль линий уровня n = (c₁ ,c₂ ) и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью.
4. Линию уровня переместить до опорной прямой в задаче на максимум в направлении нормали, в задаче на минимум- в противоположном направлении.
5. Если при перемещении линии уровня по области допустимых решений в направлении, соответствующем приближению к экстремуму целевой функции, линия уровня уходит в бесконечность, то задача не имеет решения в виду неограниченности целевой функции.
6. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то для его нахождения решить совместно уравнения прямых, ограничивающих область допустимых решений и имеющих общие точки c соответствующей опорной прямой. Если целевая функция задачи достигает экстремума в двух угловых точках, то задача имеет бесконечное множество решений. Оптимальным решением является любая выпуклая линейная комбинация этих точек. После нахождения оптимальных решений вычислить значение целевой функции на этих решениях.

Рассмотрим геометрическое истолкование задачи из Примера 2.1.1

Пример 2.3.1

Оглавление | Назад | Далее | Глоссарий понятий