Оглавление | Назад | Глоссарий понятий
Задача об использовании сырья
Для производства четырех видов изделий A1 , A2 , A3 , A4 завод должен использовать три вида сырья I, II, III , запасы которого на планируемый период составляют соответственно 1000, 600 и 150 условных единиц. В приведенной ниже таблице даны технологические коэффициенты, т.е. расход каждого вида сырья на производство единицы каждого изделия и прибыль от реализации единицы изделия каждого вида.
Виды сырья |
Запасы сырья |
Технологические коэффициенты |
|||
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
||
I |
1000 |
5 |
1 |
0 |
2 |
II |
600 |
4 |
4 |
2 |
1 |
III |
150 |
1 |
0 |
2 |
1 |
Прибыль от реализации |
6 |
2 |
2,5 |
4 |
|
Требуется составить такой план выпуска указанных изделий, чтобы обеспечить максимальную прибыль от их реализации.
Составим математическую модель задачи
Обозначим через x1 , x2 , x3 , x4 количество единиц соответствующих изделий: A1 , A2 , A3 , A4. Тогда экономико-математическая модель задачи будет следующая: найти максимум функции
при выполнении системы ограничений
 |
Для обращения системы ограничений-неравенств в систему уравнений прибавим к левой части каждого неравенства добавочные неотрицательные переменные x5 , x6 , x7 . Эти добавочные переменные в условиях данной задачи имеют конкретное экономическое содержание, а именно: объем остатков сырья каждого вида после выполнения плана выпуска продукции.
 |
После введения добавочных переменных получим систему уравнений:
Нужно найти такое допустимое базисное решение системы, которое бы максимизировало целевую функцию F, т.е. необходимо найти оптимальное решение задачи. Так как система ограничений состоит из трех независимых уравнений с семью переменными, то число основных (базисных) переменных должно равняться трем, а число неосновных — четырем.
Для решения задачи симплексным методом, прежде всего, нужно найти любое базисное решение. В условиях данной задачи оно может быть найдено без труда. Для этого достаточно принять за основные добавочные переменные x5 , x6 , x7. Так как коэффициенты при этих переменных образуют единичную матрицу, то отпадает необходимость вычислять определитель (определитель единичной матрицы равен 1, т.е. отличен от нуля).
Положив неосновные (свободные) переменные x1 , x2 , x3 , x4 равными нулю, получим базисное решение (0; 0; 0; 0; 1000; 600; 150), которое оказалось допустимым. Поэтому в условиях данной задачи отпадает надобность в применении первого этапа симплексного метода. Переходим сразу ко второму этапу, т.е. к поискам оптимального решения.
I шаг. Основные переменные x5 , x6 , x7. Составляем первую симплекс-таблицу. Находим разрешающий элемент.
Базисные переменные |
Свобод. члены |
x5 |
x6 |
x7 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
1000 |
1 |
0 |
0 |
5 |
1 |
0 |
2 |
x6 |
600 |
0 |
1 |
0 |
4 |
2 |
2 |
1 |
x7 |
150 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
-6 |
-2 |
-2,5 |
-4 |
Базисное решение (0; 0; 0; 0; 1000; 600; 150).
II шаг. Основные переменные x1 , x5 , x6 . Составляем новую симплекс-таблицу. Снова находим разрешающий элемент.
Базисные переменные |
Свобод. члены |
x5 |
x6 |
x7 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
250 |
1 |
0 |
-5 |
0 |
1 |
-10 |
-3 |
x6 |
0 |
0 |
1 |
-4 |
0 |
2 |
-6 |
-3 |
x1 |
150 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
F |
900 |
0 |
0 |
6 |
0 |
-2 |
9,5 |
2 |
Базисное решение (150; 0; 0; 0; 250; 0; 0).
III шаг. Основные переменные x1 , x2 , x5. Составляем новую симплекс-таблицу. Находим разрешающий элемент.
Базисные переменные |
Свобод. члены |
x5 |
x6 |
x7 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
250 |
1 |
-0,5 |
-3 |
0 |
0 |
-7 |
-1,5 |
x2 |
0 |
0 |
0,5 |
-2 |
0 |
1 |
-3 |
-1,5 |
x1 |
150 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
F |
900 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
3,5 |
-1 |
Базисное решение (150; 0; 0; 0; 250; 0; 0).
IV шаг. Основные переменные х2, х4, х5. Переходим к следующей таблице.
Базисные переменные |
Свобод. члены |
x5 |
x6 |
x7 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
475 |
1 |
-0,5 |
-1,5 |
1,5 |
0 |
-4 |
0 |
x2 |
225 |
0 |
0,5 |
-0,5 |
1,5 |
1 |
0 |
0 |
x4 |
150 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
F |
1050 |
0 |
1 |
3 |
1 |
0 |
5,5 |
0 |
Эта таблица является последней, по ней читаем ответ задачи. Оптимальным будет решение (0; 225; 0; 150; 475; 0; 0) при котором Fmax =1050, т.е. для получения наибольшей прибыли, равной 1050 денежных единиц, предприятие должно выпустить 225 единиц продукции вида A2 , 150 единиц продукции вида A4 , (продукцию вида A1 и A3 в данных условиях производить не выгодно) при этом сырье типа II и III будет использовано полностью, а 475 единиц сырья типа I останутся неизрасходованными.
Оглавление | Назад | Глоссарий понятий
