Оглавление | Назад| Глоссарий понятий
Решить задачу
Решение. Необходимо найти переменные x1 и x2 ,удовлетворяющиеуравнению
x1 + 2x2 = 4 |
(2.35) |
(уравнение связи), условию неотрицательности x1> 0, x2 > 0иобращающиевмаксимумфункцию
 |
(2.36) |
Ограничение (2.35) вместе
 |
рис. 2.8 |
с условиями неотрицательности определяют на плоскости x1 Ох2 отрезок AВ — замкнутую ограниченную область (рис. 2.6).
Согласно теореме Вейерштрасса максимум функции может достигаться либо внутри этого отрезка, либо в граничных точках: А (4; 0) или В (0; 2).
Следовательно, необходимо найти условный экстремум функции (2.36), если уравнение связи имеет вид (2.35).
Из уравнения связи найдем, например, х1, и подставим в (2.36):
x1 = 4 - 2x2 , z = (4 - 2x2 )2 x2(4 - 4 + 2x2 - x2 )
Упростив это выражение, получим
z = 4 (2 - x2 )2 x22 |
(2.37) |
При этом x2 € [0; 2] . Найдем глобальный экстремум функции
(2.37) на отрезке [0; 2]. Производная этой функции равна
z' = 16 (2 - x2 )x2(1 - x2 )
Стационарные точки: x2 = 0, x2 = 1 и x2 =2.
Одна из них х2 = 1, лежит внутри отрезка, две другие совпадают с концами. Найдем значения функции (2.46) в стационарной точке x2 = 2 и на концах отрезка: z(1) = 4; z(0) = 0; z(2) = 0.
Следовательно, Zmax = 4 и достигается при x2 = 1, x1 = 4 - 2x2 = 2, т.е. в точке [2; 1].
Максимальный объем производства, равный Zmax = 4 ед., достигается при условии, что затраты производственных факторов х1 и x2 равны соответственно 2 ед. и 1 ед.
Оглавление | Назад| Глоссарий понятий
